Cálculo Exemplos

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Depois, $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4.1.4.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 4.1.4.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 4.1.4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Etapa 7

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$