Cálculo Exemplos

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- {(t - 3)}^{2}$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- {(t - 3)}^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 3$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Etapa 4.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

Etapa 5.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$