Cálculo Exemplos

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $t = \frac{1}{2}$ e $y = 8$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 t^{- 4}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

Etapa 1.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 3}{t^{4}}$

Etapa 1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{t^{4}}$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

Etapa 1.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

Etapa 1.4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (3 \cdot 16)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- (3 \cdot 16)$ .

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $3$ por $16$ .

$- 1 \cdot 48$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$- 48$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 48$ e um ponto determinado $(\frac{1}{2}, 8)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $- 48$ .

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$y - 8 = - 48 x + 24$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = - 48 x + 24 + 8$

Etapa 2.3.2.2

Some $24$ e $8$ .

$y = - 48 x + 32$

Etapa 3