Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{3 + 4 x^{2}} (8 x) d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Combine $8$ e $\frac{1}{3 + 4 x^{2}}$ .

$\int \frac{8}{3 + 4 x^{2}} \cdot x d x$

Etapa 1.2

Combine $\frac{8}{3 + 4 x^{2}}$ e $x$ .

$\int \frac{8 x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{x}{3 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 3 + 4 x^{2}$ . Depois, $d u = 8 x d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 3 + 4 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $3 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 4 (2 x)$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$0 + 8 x$

Etapa 3.1.4

Some $0$ e $8 x$ .

$8 x$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Etapa 4.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$8 \int \frac{1}{8 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $8$ .

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 4 x^{2}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{2} |) + C$