Cálculo Exemplos

$x (t) = t^{2} - 4 t$ e $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = t^{2} - 4 t$

Etapa 2

Reescreva a equação como $t^{2} - 4 t = x$ .

$t^{2} - 4 t = x$

Etapa 3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$t^{2} - 4 t - x = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.3

Adicione parênteses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3.3

Adicione parênteses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3.3

Adicione parênteses.

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 10

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Etapa 11

Simplifique $2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Multiplique $- 6$ por cada elemento da matriz.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Etapa 11.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Etapa 11.1.2.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Etapa 11.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Etapa 11.1.2.4

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

Etapa 11.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Etapa 11.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Reordene $- 4$ e $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Etapa 11.2.2

Reordene $- 4$ e $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Etapa 11.2.3

Reordene $- 4$ e $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

Etapa 11.2.4

Reordene $- 4$ e $- x$ .

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$