Cálculo Exemplos

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Etapa 6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $x e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Etapa 7.2

Avalie $e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3.5

Some $e$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Etapa 7.3.6

Simplifique.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Etapa 7.3.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Etapa 8.2

Subtraia $e$ de $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Etapa 8.3

Some $0$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Etapa 9.2

Some $1$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Etapa 10

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Etapa 10.1.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Etapa 10.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$A (x) = 1$

Etapa 11