Cálculo Exemplos

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Depois, $d u = (2 x + 4) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$2 x + 4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$