Cálculo Exemplos

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Etapa 4.2

Some $8 x$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os termos.

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Etapa 5.1.1

Combine $8$ e $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Etapa 5.1.2

Combine $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Reescreva ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 5.3.2

Expanda $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Etapa 5.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Etapa 5.3.4

Some $9$ e $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Etapa 5.3.5

Fatore $2$ de $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

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Etapa 5.3.5.1

Fatore $2$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Etapa 5.3.5.2

Fatore $2$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Etapa 5.3.5.3

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Etapa 5.3.5.4

Fatore $2$ de $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Etapa 5.3.5.5

Fatore $2$ de $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$