Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 - e^{- x}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{1 - e^{- x}}$ como ${(1 - e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{- x})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - e^{- x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - e^{- x}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 3.5

Multiplique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.5.2

Multiplique ${(1 - e^{- x})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ({(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x})$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ como $- {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- e^{- x} {(1 - e^{- x})}^{- 2}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- e^{- x} \frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$ e $e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x}}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$