Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{- 3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{- 3}{4}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2.5

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.3

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 6 (\frac{2}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.4

Combine $- 6$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.5

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.6

Combine $\frac{- 12}{3}$ e $x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

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Etapa 1.4.7.1

Fatore $3$ de $- 12 x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 4 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.4.7.2.4

Divida $- 4 x^{5}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} (4 x^{3})$

Etapa 1.5.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4}{2} x^{3}$

Etapa 1.5.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4 x^{3}}{2}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

Etapa 1.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

Etapa 1.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 x^{3}}{1}$

Etapa 1.5.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Some $- \frac{3}{4 x^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 20 x^{4} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{4 x^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 2.4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Etapa 2.4.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Etapa 2.4.9

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Etapa 2.4.10

Multiplique $4$ por $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Etapa 2.4.11

Combine $\frac{12}{4}$ e $x^{- 5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Etapa 2.4.12

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4 x^{5}}$

Etapa 2.4.13

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

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Etapa 2.4.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Etapa 2.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.13.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Etapa 2.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Etapa 2.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$