Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{3} - 15 x = x$

Etapa 1.2

Resolva $x^{3} - 15 x = x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $x$ de $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, 4$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$y = - 4$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses.

$y = - 4$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = 4$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses.

$y = 4$

Etapa 1.6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ de $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Etapa 3.5

Como $- 16$ é constante com relação a $x$ , mova $- 16$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Etapa 3.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Avalie $\frac{1}{4} x^{4}$ em $0$ e em $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Etapa 3.7.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.3

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.4

Multiplique $256$ por $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.5

Combine $- 256$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6

Cancele o fator comum de $- 256$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.6.1

Fatore $4$ de $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.6.2.4

Divida $- 64$ por $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.7

Subtraia $64$ de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 3.7.2.3.10

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Etapa 3.7.2.3.11

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.11.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Etapa 3.7.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Etapa 3.7.2.3.11.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Etapa 3.7.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Etapa 3.7.2.3.13

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Etapa 3.7.2.3.14

Multiplique $- 16$ por $- 8$ .

$- 64 + 128$

Etapa 3.7.2.3.15

Some $- 64$ e $128$ .

$64$

Etapa 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 15$ por $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Etapa 5.3

Some $x$ e $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Etapa 5.7

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Etapa 5.8

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.1

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $4$ e em $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $256$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.2.1

Fatore $4$ de $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.2.2.4

Divida $64$ por $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.4.1

Fatore $4$ de $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.6

Some $64$ e $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.9.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.9.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.10.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Etapa 5.10.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.11.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 5.10.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.10.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.10.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Etapa 5.10.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Etapa 5.10.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Etapa 5.10.2.3.13

Some $8$ e $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Etapa 5.10.2.3.14

Multiplique $16$ por $8$ .

$- 64 + 128$

Etapa 5.10.2.3.15

Some $- 64$ e $128$ .

$64$

Etapa 6

Some $64$ e $64$ .

$128$

Etapa 7