Cálculo Exemplos

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Etapa 1

Escreva $x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ como uma função.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{\frac{x}{3}}$ .

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

Etapa 5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

Etapa 7

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 7.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Etapa 8.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

Etapa 8.3

Mova $3$ para a esquerda de $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

Etapa 9

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

Etapa 10

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

Etapa 12

Reescreva $x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ como $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{3}$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ .

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$