Cálculo Exemplos

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Etapa 5

Deixe $u = y + 9$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = y + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 5.1.4

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Etapa 5.3

Some $- 8$ e $9$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Etapa 5.5

Some $0$ e $9$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2}$ em $0$ e em $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 8.2

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.5

Combine $- 64$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6

Cancele o fator comum de $- 64$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Fatore $2$ de $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6.2.4

Divida $- 32$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.7

Subtraia $32$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $- 32$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.1

Fatore $8$ de $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.11

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1

Cancele o fator comum.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.12.2

Reescreva a expressão.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.13

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.14

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.15

Multiplique $2$ por $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1

Fatore $3$ de $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.17

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 8.3.18

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.19

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.20

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Etapa 8.3.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.22.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Etapa 8.3.22.2

Subtraia $2$ de $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Etapa 8.3.23

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Etapa 8.3.24

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Etapa 8.3.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Etapa 8.3.26

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.26.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Etapa 8.3.26.2

Some $- 12$ e $52$ .

$\frac{40}{3}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{40}{3}$

Forma decimal:

$13.\overline{3}$

Forma de número misto:

$13 \frac{1}{3}$

Etapa 10