Cálculo Exemplos

$y = - \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{3} x^{- 2} + \frac{1}{8} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{3}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{3}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 9}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Combine $\frac{4}{6}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{- 2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4.4

Combine $\frac{- 2}{3}$ e $x^{- 3}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4.5

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{8} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{8} (2 x)$

Etapa 1.5.3

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2}{8} x$

Etapa 1.5.4

Combine $\frac{2}{8}$ e $x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{8}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 (x)}{8}$

Etapa 1.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{x}{4}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{2}{3 x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{9 x^{2}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{9}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{9 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} - \frac{9}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 (\frac{9}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{9}{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 9}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$2 x^{2} + \frac{- 18}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.6

Combine $\frac{- 18}{2}$ e $x$ .

$2 x^{2} + \frac{- 18 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.7

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Fatore $2$ de $- 18 x$ .

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{2 (- 9 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + \frac{- 9 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.3.7.2.4

Divida $- 9 x$ por $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3 x^{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 2.5.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 2.5.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 2.5.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 2.5.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.7.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 2.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 2.5.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4})$

Etapa 2.5.8

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + 3 (\frac{2}{3}) x^{- 4}$

Etapa 2.5.9

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{- 4}$

Etapa 2.5.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3} x^{- 4}$

Etapa 2.5.11

Combine $\frac{6}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6 x^{- 4}}{3}$

Etapa 2.5.12

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{6}{3 x^{4}}$

Etapa 2.5.13

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.13.1

Fatore $3$ de $6$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

Etapa 2.5.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.13.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{4})}$

Etapa 2.5.13.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{4}}$

Etapa 2.5.13.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 9 x + \frac{1}{4} + \frac{2}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$f'' (x) = 2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 9 x + \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$4 x - 9 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 9 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$4 x - 9 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 x - 9 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x - 9 + 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 9 + 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$4 x - 9 + 2 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$4 x - 9 + 2 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.4.8

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$

Etapa 3.5

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 9 - 8 x^{- 5} + 0$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 9 - 8 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x - 9 + \frac{- 8}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.6.2.3

Some $4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$ e $0$ .

$4 x - 9 - \frac{8}{x^{5}}$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = 4 x - \frac{8}{x^{5}} - 9$