Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.3.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 1.3.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.3.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 8.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 9

A solução para a equação $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \cos (2 (0))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \cos (0)$

Etapa 11.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Etapa 13.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Etapa 15.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \cos (π)$

Etapa 15.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 (- \cos (0))$

Etapa 15.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Etapa 15.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Etapa 16

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 17.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Etapa 17.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 17.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(\frac{π}{2}, 1)$ é um máximo local

Etapa 19