Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 4.3

Divida $1$ por $1$ .

$1$