Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 4

Divida $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 4.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Etapa 4.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 11

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 11.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 11.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Etapa 11.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 11.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 11.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 11.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 11.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 11.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 11.1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 11.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 11.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 11.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 11.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 11.1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 11.1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 11.1.6.2.1

Fatore $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 11.1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 11.1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 11.1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Etapa 11.1.6.2.2.4

Divida $B (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Etapa 11.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Etapa 11.1.6.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A + B x + B$

Etapa 11.1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Etapa 11.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 11.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B$

Etapa 11.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 11.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Etapa 11.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 11.3.1

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Etapa 11.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 11.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = A + B$ por $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 11.3.2.2

Simplifique $1 = A + 0$ .

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Etapa 11.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.3.2.2.1.1

Remova os parênteses.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 11.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.2.2.2.1

Some $A$ e $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Etapa 11.3.3

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 11.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 1 B = 0$

Etapa 11.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = 0$

Etapa 11.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Divida $0$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 11.5.2

Remova o zero da expressão.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 12

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 13

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 13.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 13.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 13.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Etapa 15.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$