Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.2

Some $- 6$ e $7$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 1.3.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Etapa 1.3.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

Etapa 1.3.3.2

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

Etapa 1.3.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (2 x + 7)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 7$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{2 x + 7}$ e $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{4}{2 x + 7}$ e $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \tan (- 6 - 2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = - 6 - 2 x$ .

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Etapa 3.14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Etapa 3.14.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Etapa 3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Etapa 3.15

Remova os parênteses.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

Etapa 3.16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Etapa 3.17

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Etapa 3.18

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.19

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.20

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 3.22

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{8}{2 x + 7}$ por $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $- 4$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 9

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 13

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Etapa 14

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

Etapa 15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Etapa 16

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 17

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 18

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Etapa 19

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 19.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Etapa 19.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Etapa 20

Simplifique a resposta.

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Etapa 20.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 20.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Etapa 20.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 20.2.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2.2

Some $- 6$ e $7$ .

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2.3

Multiplique $\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ por $1$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2.4.2

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

Etapa 20.2.4.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

Etapa 20.2.5

Some $- 6$ e $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

Etapa 20.2.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

Etapa 20.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 20.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 20.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 20.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 20.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Etapa 20.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2$