Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{\ln (5)}$ e $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{\ln (5)}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{\ln (5)}$ para fora da integral.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Etapa 4

A integral de $5^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.2

Avalie $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Avalie o expoente.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.6

Some $5$ e $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.7

Avalie o expoente.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.10

Subtraia $1$ de $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.11

Reescreva $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ como um produto.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Etapa 5.2.3.12

Multiplique $\frac{4}{\ln (5)}$ por $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Etapa 5.2.3.13

Eleve $\ln (5)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Etapa 5.2.3.14

Eleve $\ln (5)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Etapa 5.2.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Etapa 5.2.3.16

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Forma decimal:

$1.56244626 \dots$

Etapa 7