Cálculo Exemplos

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 6$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x + 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.1.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 6) u^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Etapa 3.4

Some $1$ e $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Etapa 6

Como $- 6$ é constante com relação a $u$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Etapa 8

Simplifique.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$