Cálculo Exemplos

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + \frac{b}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Etapa 2.2

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

Etapa 2.4

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{b}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 2.5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Etapa 2.5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

Etapa 2.7

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $b$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{b}{x^{3}}$ e $- 6$ .

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ e ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ .

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.2.4

Mova $- 6$ para a esquerda de $b$ .

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Para escrever $a$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.4

Combine expoentes.

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Etapa 3.3.4.1

Combine $6$ e $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.4.2

Combine $b$ e $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.5

Remova os parênteses desnecessários.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Etapa 3.3.7

Mova $6$ para a esquerda de $b$ .

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 3.5

Combine.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

Etapa 3.6

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

Etapa 3.6.2

Some $4$ e $3$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

Etapa 3.7

Multiplique $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$