Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.1.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.11.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.2.1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 1.2.1.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 1.2.1.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}]$

Etapa 1.2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.7

Combine frações.

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Etapa 1.2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.7.2

Combine ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.7.3.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.7.3.2

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 1.2.7.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão