Cálculo Exemplos

$- x y + 2 x = 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- x y + 2 x) = \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x y + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x y' + y) + 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (x y' + y) + 2$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x y' - y + 2$

Etapa 3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x y' - y + 2 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$- x y' + 2 = y$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x y' = y - 2$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- x y' = y - 2$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- x y' = y - 2$ por $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$