Cálculo Exemplos

$\int 3 x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x {(4 x + 3)}^{2} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 x + 3$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{4} - \frac{3}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.5

Some $1$ e $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Etapa 4.7

Combine $- \frac{3}{4}$ e $\frac{u^{2}}{4}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 4.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{16} - \frac{3 u^{2}}{16} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$3 (\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{3 u^{2}}{16} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{3}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{3}{16}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{3}{16} \int u^{2} d u))$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{16} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{3}{16} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Etapa 12.2

Simplifique.

$3 (\frac{u^{4}}{64} - \frac{u^{3}}{16}) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 3$ .

$3 (\frac{{(4 x + 3)}^{4}}{64} - \frac{{(4 x + 3)}^{3}}{16}) + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$3 (\frac{1}{64} {(4 x + 3)}^{4} - \frac{1}{16} {(4 x + 3)}^{3}) + C$