Cálculo Exemplos

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{3} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 6 x^{2} = - 6$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 6$ por $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 0.5$ por $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Etapa 3.1.2.2

Some $- 0.5$ e $3$ .

$f (1) = 2.5$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $2.5$ .

$2.5$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ é $(1, 2.5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, 2.5)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $- 0.5$ por $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 0.5$ e $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $2.5$ .

$2.5$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ é $(- 1, 2.5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, 2.5)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Etapa 5.2.2

Some $- 7.26$ e $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 1.26$ .

$- 1.26$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $- 1.26$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Etapa 7.2.2

Some $- 7.26$ e $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1.26$ .

$- 1.26$

Etapa 7.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $- 1.26$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Etapa 9