Cálculo Exemplos

$\sin (x^{2} y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} y$ .

$\cos (x^{2} y) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 2.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x^{2} y) (x^{2} y') + \cos (x^{2} y) (2 y x)$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x^{2} \cos (x^{2} y) y' + 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) + 2 x y \cos (x^{2} y) = 1$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x y \cos (x^{2} y)$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ por $x^{2} \cos (x^{2} y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x^{2} y' \cos (x^{2} y) = 1 - 2 x y \cos (x^{2} y)$ por $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y' \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x^{2} y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \cos (x^{2} y)}{\cos (x^{2} y)} = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x^{2} \cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y)} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{2} y)}$ em $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{1}{x^{2}} \sec (x^{2} y) + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\sec (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2} y)}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1.4.1

Fatore $x$ de $- 2 x y \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x^{2} \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} \cos (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Etapa 5.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{x (- 2 y \cos (x^{2} y))}{x (x \cos (x^{2} y))}$

Etapa 5.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $\cos (x^{2} y)$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y \cos (x^{2} y)}{x \cos (x^{2} y)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} + \frac{- 2 y}{x}$

Etapa 5.3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$