Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{1 - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.9.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Etapa 1.3.9.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Etapa 1.3.9.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.9.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 1.3.9.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.9.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Etapa 1.3.9.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Etapa 1.3.9.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 1.3.9.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.9.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.10

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- (2 \sqrt{x}))$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} (2 x + 4) (- 2 \sqrt{x})$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 1} (2 x + 4) \sqrt{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- 2 lim_{x \to 1} 2 x + 4 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- 2 (lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Etapa 2.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- 2 (2 lim_{x \to 1} x + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- 2 (2 \cdot 1 + 4) \cdot \sqrt{1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 (2 + 4) \cdot \sqrt{1}$

Etapa 4.2

Some $2$ e $4$ .

$- 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{1}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$- 12 \cdot \sqrt{1}$

Etapa 4.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$- 12$