Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5}{x + 1}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}}{x + 1}$

Etapa 1.2

Combine $- 5$ e $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{5}{x} + \frac{- 5 x}{x}}{x + 1}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 5 - 5 x}{x}}{x + 1}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{- 5 - 5 x}{x}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} - 5 - 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{- lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 1} 5 x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 5 - 5 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{- 5 - 5 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x (x + 1)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.5.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5 - 5 x}{x (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $5$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{\frac{d}{d x} [x (x + 1)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + (x + 1) \cdot 1}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{x + x + 1}$

Etapa 3.3.14

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 5}{2 x + 1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 lim_{x \to - 1} \frac{1}{2 x + 1}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 4.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$- 5 \frac{1}{2 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{- 2 + 1}$

Etapa 6.1.2

Some $- 2$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{- 1})$

Etapa 6.2

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Etapa 6.3

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$5$