Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x^{2} - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Etapa 1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{(x^{2} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 15.3

Some $2$ e $1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 16

Combine $4$ e $\frac{(x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 17.3.1.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.2

Combine $x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.3.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.5

Reescreva $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.6

Multiplique $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

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Etapa 17.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.6.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 x^{\frac{3}{2}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.1.8

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.3.2

Subtraia $8 x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.4.1

Fatore $- 2$ de $- 6 x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 17.4.1.1

Fatore $- 2$ de $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.1.2

Fatore $- 2$ de $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.1.3

Fatore $- 2$ de $- 2 (3 x^{\frac{3}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.3

Multiplique $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 17.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.3.2

Multiplique $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{- 2 (3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.4

Para escrever $3 x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.6

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 17.4.6.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.6.4

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.4.6.5

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{- 2 \frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.5

Combine $- 2$ e $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 17.8

Multiplique $\frac{1}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ por $\frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.9

Reordene os fatores em $- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2)}^{2}}$