Cálculo Exemplos

$\int 5 x^{2} (3 x - 4) (x - 1) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int (x^{2} (3 x - 4)) (x - 1) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 \int {(u_{1} + 1)}^{2} (3 (u_{1} + 1) - 4) u_{1} d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{2} (3 u_{2} - 4) (u_{2} - 1) d u_{2}$

Etapa 4

Deixe $u_{3} = u_{2} - 1$ . Depois, $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{3} = u_{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $u_{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{2} - 1$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- 1$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$5 \int {(u_{3} + 1)}^{2} (3 (u_{3} + 1) - 4) u_{3} d u_{3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva ${(u_{3} + 1)}^{2}$ como $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ .

$5 \int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) (3 (u_{3} + 1) - 4) u_{3} d u_{3}$

Etapa 5.2