Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$