Cálculo Exemplos

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ por $(1 + e^{x}) y$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ por $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{x}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Reordene os fatores em $\frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $y$ de $(1 + e^{x}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Etapa 3.3

Simplifique $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.5

Remova o valor absoluto em ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$