Cálculo Exemplos

$e^{x} \sin (x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) e^{x}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os termos.

$2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $2 e^{x} x \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$ .

$2 x e^{x} \cos (x^{2}) + e^{x} \sin (x^{2})$