Cálculo Exemplos

$1 - \arctan (e^{t})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \arctan (e^{t})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \arctan (e^{t})$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = e^{t}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{t}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{t}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ e $e^{t}$ .

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

Etapa 3

Subtraia $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ de $0$ .

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$