Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{7} x - \frac{1}{10} x^{6} + \frac{1}{6} x^{- 1} - \frac{1}{10} x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{7} x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{5}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{7} x$ em relação a $x$ é $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{5}{7}$ por $1$ .

$\frac{5}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{10} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{5}{7} - \frac{1}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{5}{7} - 6 (\frac{1}{10}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 6$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{- 6}{10}$ e $x^{5}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{- 6 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{7} + \frac{2 (- 3 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{7} + \frac{- 3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} x^{- 1}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{6} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.3

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.4.4

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{1}{10} (5 x^{4})$

Etapa 1.5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - 5 (\frac{1}{10}) x^{4}$

Etapa 1.5.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5}{10} x^{4}$

Etapa 1.5.5

Combine $\frac{- 5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- 5 x^{4}}{10}$

Etapa 1.5.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{10}$

Etapa 1.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (2)}$

Etapa 1.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2}$

Etapa 1.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{- x^{4}}{2}$

Etapa 1.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{7} - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{1}{6 x^{2}} - \frac{x^{4}}{2}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3 x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{6 x^{2}} + \frac{5}{7}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{5}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- \frac{3}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{5}}{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.6

Combine $\frac{- 15}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{4}$ por $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 x^{4} - \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 x^{4} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 x^{4} + \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.3.6.2.4

Divida $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6 x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} - \frac{1}{6} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.10

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{6}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.11

Combine $2$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.12

Combine $\frac{2}{6}$ e $x^{- 3}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 x^{- 3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.13

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.14

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.14.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{6 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.14.2.1

Fatore $2$ de $6 x^{3}$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 (1)}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{7}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $\frac{5}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{7}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{4} - 2 x^{3} + \frac{1}{3 x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.4.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.4.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.4.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Etapa 3.4.9

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Etapa 3.4.10

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 3}{3 x^{4}}$

Etapa 3.4.11

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 3.4.11.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Etapa 3.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.11.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Etapa 3.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Etapa 3.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{- 1}{x^{4}}$

Etapa 3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$ .

$- 12 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{1}{x^{4}}$