Cálculo Exemplos

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 3 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2} y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $4 x^{2} y'$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

Etapa 5.2

Subtraia $9 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $4 x^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ .

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.4

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.5

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.6

Reordene $- {(3 y)}^{2}$ e ${(2 x)}^{2}$ .

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.8

Fatore.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Etapa 5.9

Divida cada termo em $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ por $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.9.1

Divida cada termo em $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ por $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum de $2 x + 3 y$ .

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Etapa 5.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.2.2

Cancele o fator comum de $2 x - 3 y$ .

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Etapa 5.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 5.9.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$