Cálculo Exemplos

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Etapa 3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

Etapa 7

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 7.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

Etapa 7.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Etapa 7.5

Multiplique $5$ por $5$ .

$u_{upper} = 25$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $25$ e em $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.3

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

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Etapa 11.3.3.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.3.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.6

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.8.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.8.2

Some $125$ e $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.9

Combine $5$ e $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.10

Multiplique $5$ por $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Etapa 11.3.11

Para escrever $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.3.12

Combine $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Etapa 11.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Etapa 11.3.14

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Etapa 11.3.15

Combine $- 3$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Etapa 11.3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Forma decimal:

$- 14400979614.1438$

Etapa 13