Cálculo Exemplos

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sin (x) = 5 x$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 5 (0)$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 5 (0)$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 5 (0)$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $\frac{π}{2}$ e $π$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Etapa 3.8

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Etapa 3.9.1.2

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.9.2

Simplifique.

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Etapa 3.9.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

Etapa 3.9.2.2

Some $- \cos (π)$ e $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

Etapa 3.9.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

Etapa 3.9.2.4

Multiplique $\cos (π)$ por $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.3

Combine.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.4

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.6

Para escrever $\frac{π^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.9.3.7.1

Multiplique $\frac{π^{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.9

Mova $4$ para a esquerda de $π^{2}$ .

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.10

Subtraia $π^{2}$ de $4 π^{2}$ .

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.11

Multiplique $5 \frac{3 π^{2}}{8}$ .

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Etapa 3.9.3.11.1

Combine $5$ e $\frac{3 π^{2}}{8}$ .

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.9.3.11.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Etapa 3.10.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.10.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

Etapa 4