Cálculo Exemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Etapa 1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Etapa 1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Etapa 1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ por $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Etapa 2

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $n$ de $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Etapa 4.2

Combine $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ e $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 4.3

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 4.4

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Etapa 4.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.7.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Etapa 4.7.2

Reescreva $n^{2} - 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.7.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Etapa 4.7.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = n$ e $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$