Cálculo Exemplos

$\ln (2 e^{t} - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{t} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 e^{t}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Some $2 e^{t}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

Etapa 4.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ e $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$