Cálculo Exemplos

$y^{3} x^{5} = e^{3 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y^{3} x^{5}) = \frac{d}{d y} (e^{3 x})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x^{5}$ .

$y^{3} \frac{d}{d y} [x^{5}] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{5}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$y^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$y^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$y^{3} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.3

Mova $5$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$5 \cdot y^{3} x^{4} \frac{d}{d y} [x] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} (3 y^{2})$

Etapa 2.6

Reordene.

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Etapa 2.6.1

Mova $3$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + 3 \cdot x^{5} y^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [3 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d y} [3 x]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{3 x} (3 x')$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $e^{3 x} (3 x')$ .

$3 e^{3 x} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 e^{3 x} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} x'$ .

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 x' e^{3 x}$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x' e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} - 3 x' e^{3 x} = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $3 x^{5} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $x'$ de $5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x'$ de $5 x^{4} y^{3} x'$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $x'$ de $- 3 x' e^{3 x}$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $x'$ de $x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x})$ .

$x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ por $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ por $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$