Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Etapa 1.3.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

Etapa 1.3.3.2

Some $- 5$ e $6$ .

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

Etapa 1.3.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + 3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $e^{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.5

Some $e^{x + 3}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (- 5 - 2 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 5 - 2 x$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{- 5 - 2 x}$ e $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Etapa 3.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Etapa 3.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 3.12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.13

Combine $- 2$ e $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.14

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

Etapa 3.17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

Etapa 3.18

Simplifique.

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Etapa 3.18.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

Etapa 3.18.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

Etapa 3.18.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (2 x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

Etapa 3.18.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

Etapa 3.18.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

Etapa 3.18.6

Multiplique $\frac{6}{5 + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

Etapa 5

Combine $e^{x + 3}$ e $\frac{5 + 2 x}{6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Etapa 8

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Etapa 10

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Etapa 12

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Etapa 13

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Etapa 15.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Etapa 15.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

Etapa 15.5

Subtraia $6$ de $5$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

Etapa 15.6

Combine $\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$