Cálculo Exemplos

$- 4 x^{2} + 3 - y + x = y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 3 - y + x) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} + 3 - y + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 8 x + 0 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 8 x + 0 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 8 x + 0 - y' + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 x + 0 - y' + 1$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $- 8 x$ e $0$ .

$- 8 x - y' + 1$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$- 8 x + 1 - y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 8 x + 1 - y' = 3 y^{2} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 y^{2} y'$ dos dois lados da equação.

$- 8 x + 1 - y' - 3 y^{2} y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $8 x$ aos dois lados da equação.

$1 - y' - 3 y^{2} y' = 8 x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y' - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- y' - 3 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' \cdot - 1 - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ por $- 1 - 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ por $- 1 - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1 - 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - 3 y^{2}}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - (3 y^{2})}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1 + 3 y^{2})}$

Etapa 5.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$