Cálculo Exemplos

$\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{15} x^{6}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $6$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{6}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $6$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Fatore $3$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $\frac{25}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{25}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.4.3

Combine $4$ e $\frac{25}{6}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 25}{6} x^{3}$

Etapa 2.1.4.4

Multiplique $4$ por $25$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100}{6} x^{3}$

Etapa 2.1.4.5

Combine $\frac{100}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100 x^{3}}{6}$

Etapa 2.1.4.6

Cancele o fator comum de $100$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.1

Fatore $2$ de $100 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{6}$

Etapa 2.1.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 (3)}$

Etapa 2.1.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.1.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{5}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.5

Combine $\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Fatore $5$ de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.4

Divida $2 x^{4}$ por $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $\frac{50}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{50 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} (3 x^{2})$

Etapa 2.2.4.3

Combine $3$ e $\frac{50}{3}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 50}{3} x^{2}$

Etapa 2.2.4.4

Multiplique $3$ por $50$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150}{3} x^{2}$

Etapa 2.2.4.5

Combine $\frac{150}{3}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150 x^{2}}{3}$

Etapa 2.2.4.6

Cancele o fator comum de $150$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.6.1

Fatore $3$ de $150 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3}$

Etapa 2.2.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 (1)}$

Etapa 2.2.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.2.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50 x^{2}}{1}$

Etapa 2.2.4.6.2.4

Divida $50 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $2 x^{2}$ de $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 50 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $2 x^{2}$ de $50 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$2 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva ${(x + 5)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 5$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{15}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $\frac{25}{6}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- 5$ em $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot {(- 5)}^{6} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $6$ .

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 (3)} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Fatore $5$ de $15625$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 5) = \frac{1}{3} \cdot 3125 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3125$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $- 5$ à potência de $5$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot 625$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $\frac{25}{6} \cdot 625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Combine $\frac{25}{6}$ e $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25 \cdot 625}{6}$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Multiplique $25$ por $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $\frac{3125}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} \cdot \frac{2}{2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $\frac{3125}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.3

Escreva $- 3125$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.4

Multiplique $\frac{- 3125}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 3125}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.6

Reordene os fatores de $3 \cdot 2$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.2.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{6} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $3125$ por $2$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Etapa 4.3.2.4.2

Multiplique $- 3125$ por $6$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 18750 + 15625}{6}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Subtraia $18750$ de $6250$ .

$f (- 5) = \frac{- 12500 + 15625}{6}$

Etapa 4.3.2.5.2

Some $- 12500$ e $15625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{6}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $\frac{3125}{6}$ .

$\frac{3125}{6}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 5$ em $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ é $(- 5, \frac{3125}{6})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 5, \frac{3125}{6})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 5, \frac{3125}{6})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.1$ na expressão.

$f'' (- 5.1) = 2 {(- 5.1)}^{4} + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 5.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 5.1) = 2 \cdot 676.5201 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $676.5201$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 5.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 \cdot - 132.651 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $20$ por $- 132.651$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 \cdot 26.01$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $50$ por $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 1300.5$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $2653.02$ de $1353.0402$ .

$f'' (- 5.1) = - 1299.9798 + 1300.5$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 1299.9798$ e $1300.5$ .

$f'' (- 5.1) = 0.5202$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.5202$ .

$0.5202$

Etapa 6.3

Em $- 5.1$ , a segunda derivada é $0.5202$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 5)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 {(- \frac{5}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{16}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.6.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 (8)}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 \cdot 8}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.1.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{125}{8}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.2

Fatore $4$ de $20$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 (5) (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.3

Fatore $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.4

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 5 (\frac{- 125}{2}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.12

Combine $5$ e $\frac{- 125}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{5 \cdot - 125}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.13

Multiplique $5$ por $- 125$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.15

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.15.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})$

Etapa 7.2.1.15.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.16

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.17

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

Etapa 7.2.1.18

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{2^{2}})$

Etapa 7.2.1.19

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{4})$

Etapa 7.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.20.1

Fatore $2$ de $50$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 (25) (\frac{25}{4})$

Etapa 7.2.1.20.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Etapa 7.2.1.20.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Etapa 7.2.1.20.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 25 (\frac{25}{2})$

Etapa 7.2.1.21

Combine $25$ e $\frac{25}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{25 \cdot 25}{2}$

Etapa 7.2.1.22

Multiplique $25$ por $25$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{625}{2}$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625 + 625}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Some $- 625$ e $625$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{0}{2}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 0$

Etapa 7.2.2.2.3

Some $\frac{625}{8}$ e $0$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{625}{8}$ .

$\frac{625}{8}$

Etapa 7.3

Em $- \frac{5}{2}$ , a segunda derivada é $78.125$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 5, 0)$ .

Acréscimo em $(- 5, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 \cdot 0.001 + 50 {(0.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 {(0.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 \cdot 0.01$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $50$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 0.5$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $0.0002$ e $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.0202 + 0.5$

Etapa 8.2.2.2

Some $0.0202$ e $0.5$ .

$f'' (0.1) = 0.5202$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.5202$ .

$0.5202$

Etapa 8.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.5202$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão