Cálculo Exemplos

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Etapa 3

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Etapa 7

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 7.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $- 1$ e em $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.4

Subtraia $25$ de $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.5

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

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Etapa 11.3.5.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.5.2.4

Divida $- 12$ por $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Etapa 11.3.6

Multiplique $- 5$ por $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Etapa 12.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Etapa 12.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Etapa 12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Forma decimal:

$652.18111864 \dots$

Etapa 14