Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $f (x)$ é $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Etapa 5.4

Subtraia $y e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ por $x e^{x y}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ por $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $e^{x y}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.2

Combine.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.1.3.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.4

Multiplique $f$ por $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.5

Cancele o fator comum de $e^{x y}$ .

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Etapa 5.5.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Etapa 5.5.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.5.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$