Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.3.2

Some $- 3$ e $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Etapa 1.3.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

Etapa 1.3.3.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

Etapa 1.3.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (3 x + 4)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{3 x + 4}$ e $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.10

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.11

Combine $\frac{3}{3 x + 4}$ e $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.12

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.13

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \tan (2 x + 2)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x + 2$ .

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Etapa 3.14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Etapa 3.14.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Etapa 3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Etapa 3.15

Remova os parênteses.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Etapa 3.16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Etapa 3.17

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Etapa 3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Etapa 3.19

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

Etapa 3.20

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

Etapa 3.21

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

Etapa 3.22

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{9}{3 x + 4}$ por $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $3$ de $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 12

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Etapa 13

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (2 x + 2)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

Etapa 14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Etapa 15

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Etapa 16

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Etapa 17

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Etapa 18

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 18.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Etapa 18.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Etapa 19

Simplifique a resposta.

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Etapa 19.1

Combine.

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

Etapa 19.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Etapa 19.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 19.3.1

Combine expoentes.

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Etapa 19.3.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Etapa 19.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Etapa 19.3.2

Some $- 3$ e $4$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Etapa 19.3.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

Etapa 19.3.4

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

Etapa 19.3.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

Etapa 19.3.6

Combine expoentes.

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Etapa 19.3.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Etapa 19.3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$