Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $t + 1$ por $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ .

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $t + 1$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $t + 1$ de ${(t + 1)}^{2}$ .

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{t + 1}$