Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$