Cálculo Exemplos

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 3 - x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 2.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4

Avalie $\frac{x + 1}{x - 3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{(3) + 1}{0}$

Etapa 4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado